开局第一题
请看题目，如何用两根火柴把这个著名的直角三角形面积两等分？
看出来了吗？
这个问题先放下，我们进入下一个单元：勾股容圆问题的刘徽解法。
勾股容圆
我国古代数学成就辉煌。浩瀚的典籍满载着先辈们的真知灼见。其中《九章算术》尤为丰富多采，可以称为古典数学的瑰宝。
《九章算术》源远流长，它是许多代数学家共同劳动的结晶，最后由三国时期北魏的数学家刘徽作注，传至今日。
刘徽生平不见经传，乃一介寒士。他在注《九章算术》中颇有创见，其割圆术含有极限思想，为中华民族立下了又一个智慧的丰碑。
刘徽作注的《九章算术》勾股第十六题是：“今有勾八步，股十五步，问勾中容元，径几何？”即已知直角三角形两直角边的长，求内切圆直径。这便是勾股容圆问题的起源。
刘徽首先证明了公式：
直角三角形内切圆直径公式
其中 a 、 b 、 c 分别是直角三角形的直角边和斜边， d 为内切圆直径。
面积割补法
证明方法是巧妙的：如图29，连接圆心与切点、圆心与三角形顶点，分圆的外切直角三角形为六块，含三组全等直角三角形，可拼成长为½(a+b+c)，宽为½d 的长方形，其面积是½(a+b+c)×½d.它应与外切直角三角形面积½ab相等，即
½(a+b+c) x ½d=½ab
解得
证毕
若勾a=8步，股b=15步，由勾股定理
c=17步，代入上述公式，得
勾股第16题解答
d=6步。刘徽所用的方法，称为面积割补法，它在我国有悠久的历史。早在汉代赵君卿作注的《周髀算经》里便有用面积割补法对勾股定理的证明。
解答开局第一题
通过上个单元的学习，我们可以来解答开局第一题了。
三角形的内心很特殊，它既是三角形内切圆的圆心，也是三条内角平分线的交点。刘徽的勾股容圆解答图构思巧妙，也给我们解答开局第一题提供了有益的启示。
请看下图的解答。
把三角形的数据代入刘徽的公式，可知勾三股四的直角三角形内切圆半径为1，所以，如图所示用两根火柴即可平分三角形面积。而且，不仅是面积，周长也被平分。
再看刘徽的解答图，有了新的视角。
六个全等直角三角形，可以拼成等宽的长方形和正方形，整体构成一边为x+y+z，另一边为z的长方形。
利用面积关系解题，列面积方程，并求解，就推导出了勾股容圆的公式。
面积割补法
割补法主要是通过三角形或多边形全等实现的。
例1：连接四边形的四边中点所成平行四边形的面积，等于原四边形面积的一半。
在证明之前，先聊聊刘徽的青朱出入图。由下图可知，面积割补法是刘徽的拿手好戏。
刘徽用面积割补法，以盈补虚，构思巧妙，优雅地证明了勾股定理。
现在我们来证明例1。
证明：设 E、F 、G 、H 分别是四边形 ABCD 四边中点(图30)，则 EFGH 为平行四边形。
连接AC交EH、FG于Q 、P ，则四边形 EFGH 被分割为四边形EFPQ 与 GHQP
之和，即 Sᴇғɢʜ= Sᴇғᴘǫ+Sᴇғǫᴘ
取AC中点M，则 Sᴇғᴘǫ=△EFM +△MPF +△MQE
∵ MF∥АB, MF=½АB，ME∥BC，ME=½BC,
∴△EFM≌△BEF , △MPF≌△AEQ ,△ MQE≌△CFP.
∴△EFM+△MPF +△МQE =½△АВС，即 Sᴇғᴘǫ=½△АВС.
同理可证 Spǫʜɢ =½△ADC .
∴ Sᴇғɢʜ=½Sᴀʙᴄᴅ
证毕
以上证明请大家认真体会，细细品味。举一反三，还得到了以下二级结论：
第一，连接三角形三边中点所成三角形的面积等于原三角形面积的¼。
举个例子，在图30中，△EFM=¼△АВС，因为这两个三角形是相似三角形，相似比是1：2，面积比是相似比的平方，就是1：4了。
在图上也能够一眼就看出来，因为平行四边形的对角线平分面积。
第二，任意三角形的内接矩形面积最大值为原三角形面积的一半。
如果一个矩形的两个顶点在三角形的一条边上，另外两个顶点分别在三角形的另外两条边上，那么这个矩形就是三角形的内接矩形。
内接矩形的面积千变万化，当矩形的一条边是原三角形的中位线时，矩形面积达到最大值。
将割补法与等积移动定理综合使用，解决的课题便更加广泛。
我们来证明一个定值问题。
例2 有一定长的线段 AB 和与它平行的直线 l 。在 AB 和 l 上分别取任意点 P 、Q，经A、 B 分别作 PQ 的平行线交 BQ、AQ 的延长线于M、N，那么无论 P 、Q的位置怎样变化， △MPN 的面积为定值。
证明：如图31, △MPN 可分割为△MQP △NQP 与△MQN.
∵ AM∥PQ ,
∴ △MQP=△AQP （等积移动定理）.
同理， BN∥PQ ⇒△NQP=△BQP
∴△MQP +△NQP
=△AQP+BQP=△QAB
又∵ AM∥BN, ∴ △MQN =QAВ(蝴蝶模型).
∵ l∥AB ,∴△QAB 为定值，
∴ △MPN=2△QAB 为定值。
练习二十五
第一题：设 M 为四边形ABCD对角线AC 的中点，过M作 BD 的平行线交 AB 于 E ，交 AD 于 F 。则 △ADE 的面积等于四边形 ABCD 面积的一半。
第二题：已知 AC 、 BD 为定长，且交角为定值，求证四边形ABCD 面积为定值。
第三题：D 为△ABC 的边 AB上一定点，过 D 作l∥BC.在l上任取不落在△ABC内部的点 P，则△APB 与△APC面积之差的绝对值为定值。
答案见下图：
总结
学习体会：利用面积关系解题，面积方法是有力的解题工具。
证明勾股容圆的公式还有其它方法。在解决了勾股容圆问题后，还可以想想已知三边，怎样求任意三角形的内切圆的半径。这些问题先埋下伏笔，以后再来探究。